Googology-HPrSS（超初等序列）

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原作者：佩勒
如果对阶差也进行展开，会发生什么呢？
LPrSS只展开了一层，接下来我们要讲一个山脉图
首先就是阶差的获取方法：往左找到比自己小的项，特别地，最左边的1的项是0，二者相减就获得了阶差
（这个项叫做父项）
比如：
L(1,4,6,4)
第一项0
第二项是1
第三项6的父项是4
相减，得到
(1,3,2,3)
这个就是阶差的获得方法
将一个项与它的阶差连接，称作“右腿”
将一个项沿着右腿走上去的项与它的父项连接，称作“左腿”
最左边的1只有右腿到上面的1
于是我们就画出来了山脉图（如图1）
接下来就要找山脉图的根
首先找阶差的父项
沿着阶差项左腿走一步，再往上走一步，就获得了它的父项
根就是阶差末项父项，在这里是3父项，也就是沿着左腿“↙↙↙”即向下走一步后向左走三步（n个↙为向下走一步后向左走n步）到1，然后沿着“↓”上走一步到1
坏部就是根往右的所有元素（不含根）（如图2）
复制方法是将根最后一项-1，然后无限复制，删掉末项（如图3）
最后补全底下的序列，方法是：
(1)找到已经补到的右边一项
(2)沿着“↓”向上走一步，走到的数字记为a
(3)沿着左腿走到父项，记为b
(4)这项就是a+b
于是我们就展开了这样一幅图（如图4）
即L(1,4,6,3,6,8,5,8,10,7,…)
在末项-坏根=阶差d=1的时候，因为复制加数计算得到0，所以可以像PrSS一样无脑复制
比如：
L(1,3,5,4)→L(1,3,5,3,5,3,5,…)
如果末项是1，则直接删掉并加一
如果什么都没有，记作0

这就是LPrSS的山脉图，那么HPrSS会变成什么呢？
HPrSS对山脉图父项的定义做了修改，在LPrSS，你只需要沿着左腿走一步，再沿着“↓”走一步即可，而在HPrSS，需要重复这个过程，直到无路可走为止，将每个到达的父项都记录下来，找到其中在左边又比它小的第一个项，就是它的父项
以H(1,4,3,5)为例子
先画出山脉图（如图5）
按照LPrSS展开的规则不断执行
2（记录）→3→2（记录）→1→1（记录）
得到(1,2,2)
显然，最左边的1最小，所以它的父项是1
然后展开
(1,3,2,2)→(1,3,2,1,3,2,1,3,2,1,…)
最后补全，过程山脉图略
(1,4,3,5)→(1,4,3,4,7,6,7,10,9,10,…)
于是就展开了
我们分析：
在L/H(1,3,4,6)前，二者是相同的，原因在于(1,3,4,6)的父项展开出现了分歧，HPrSS进入了更“细”的一步(1,3,4,6)，而LPrSS因为只展开了一次而进入了更“粗”的一步(1,3,5)
H(1,3,4,6)=L(1,3,5)=ε(ε(0))
H(1,3,5)=L(1,4)=ζ(0)
H(1,3,5,3)=L(1,4,3)=ε(ζ(0)+1)
H(1,3,5,3,5)=L(1,4,4)=ζ(1)
H(1,3,5,4)=L(1,4,5)=ζ(ω)
H(1,3,5,5)=L(1,5)=φ(3,0)
H(1,3,5,5,4)=L(1,5,6)=φ(3,ω)
H(1,3,5,5,5)=L(1,6)=φ(4,0)
可以发现，H(1,3,5,5,…,5)n个5对应L(1,n+3)，也就是LPrSS会倒在H(1,3,5,6)这里
H(1,3,5,6)=limit of LPrSS=φ(ω,0)
H(1,3,5,6,8)=φ(ε(0),0)
H(1,3,5,7)=φ(1,0,0)
H(1,3,5,7,5,7)=φ(2,0,0)
H(1,3,5,7,6)=φ(ω,0,0)
H(1,3,5,7,7)=φ(1,0,0,0)
H(1,3,5,7,8)=φ(1 at ω)
H(1,3,5,7,9)=φ(1 at (1,0))
H(1,4)=ψ(ψ1(0))
H(1,4,4)=ψ(ψ1(1))
H(1,4,5,8)=ψ(ψ1(ψ(ψ1(0))))
H(1,4,6)=ψ(ψ1(Ω))
H(1,4,7)=ψ(Ω_2)
H(1,5)=ψ(ψ2(0))
H(1,5,9)=ψ(Ω_3)
H(1,6)=ψ(ψ3(0))
H(1,7)=ψ(ψ4(0))
limit of HPrSS=BO=ψ(Ω_ω)
只是改了父项，居然从φ(ω,0)上到了BO？！
但是，这样修改父项还是太弱了，如果对阶差的序列再取一次阶差的序列，重复直到取不出来，会怎么样呢？

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