Googology-非递归序数第十集:ω-投影

原作者：佩勒
2-投影已经到了极限，现在需要一个可以输出a的3-投影，假设最小的3-投影序数是b
假如n-投影构成真类的集合叫做Pn
ψb(0)=a
ψb(Y~X(b+1))=sup{ψb(Y~n)|n<X(b+1),X∈P1,P2}

于是，我们可以将2-投影给丢进ψb
沿用ψa的规则
ψb(n+1)=ψb(n)×ω
ψb(X~b)=y-ψb(X~y)fp
开始分析
ψb(0)=a
ψb(Ω)=a×Ω
ψb(a)=a²
ψb(b)=x-a^x fp=ε(a+1)
ψb(Ω(b+1))=Ω(a+1)
ψb(a(b+1))=a_2
ψb(a(b+1)×b)=x-a_x fp
令x-a_x ap=æ，这里的æ与a就好似I与Ω，定义ψæ(n)=a_n
ψb(a(b+1)²)=æ
定义高级æ：ψæ_2(n)=a(æ+n)等
ψb(a(b+1)²×2)=æ_2
ψb(a(b+1)²×ω)=æ_ω
引入下一个字母þ
ψb(a(b+1)³)=þ
ψb(a(b+1)³×ω)=þ_ω
引入多个字母，代号用Æ表示
æ=Æ_1
þ=Æ_2
…
ψb(a(b+1)^ω)=Æ_ω
ψb(x-a(b+1)^x fp)=x-Æ_x fp
…
以ψa分析一下ψb的成就
ψa(ψæ(æ))=psd.a(1,0)-π-0
ψa(ψæ(Ω(æ+1)))=λa.((3)[2])-2
ψa(ψæ(ε(Ω(æ+1)+1)))=λa.((psd.ω)[2])-0
ψa(ψæ(Ω(æ+ω)))=λa.(λb.(Ω(b+ω))-1[2])-1
ψa(ψæ(a(æ×2)))=λa.(a(1,0)-π-0[2])-0
ψa(ψæ_2(Ω(æ_2+1)))=λa.(λb.((3)[2])-0[2])-0
不难发现到后面的æ_2对应两段[2]稳定链
ψa(ψæ_3(æ_3))=λa.(λb.(a(1,0)-π-0[2])-0[2])-0
ψa(æ_ω)=λa.(ω-π[2]-0)-0
ψa(æ_æ)=λa.(((0-)^a(0))[3])-0
ψa(ψþ(Ω(þ+1)))=λa.((3)[3])-2
ψa(ψþ_2(þ_2))=λa.(a(1,0)-π-0[3])-0
ψa(þ_ω)=λa.(ω-π[3]-0)-0
ψa(Æ_ω)=λa.((psd.0)[ω])-0
既然有了掌控稳定链方括号的能力…
ψa(ψb(a(b+1)^Ω(b+1)))=λa.(1-o-Σ2-s)-1
终于，Σ1稳定熬不住了
在之后的BMS分析，ψa(ψb(b_ω))=BMS(000 111 222 333)，而Σ1稳定在BMS(000 111 222 322 422 422)左右结束
在这之后还可以按照3-投影的规则制定4-投影
2-投影连[2]稳定都没撑到，3-投影对2-投影的加强使其有了和方括号稳定对决的能力，更无法想象4-投影对3-投影的加强会加强到哪里…或许4-投影可以和Σ3稳定对决！
而它们的极限，便是--ω-投影

你当然可以和稳定一样：
令n-投影：
ψa(ψb(…ψx(f(x))…))n个字母和OCF不严谨的定义为n-proj-f
于是ω-投影就可以表示为：
ω-proj
(ω+1)-proj-(+1)
(ω×2)-proj
Ω-proj
λa.(a-proj)-0
ψa(a-proj)
定义方括号投影
ψa[2](a[2])
ψa[2](ψb[2](b[2]))
ω-proj[2]
ψa(a-proj[2])
ψa[3](a[3])
ψa[ω](a[ω])
ψa(ψb[a](b[a]))
……
令上述都是Δ1投影，还有Δ2投影，Δω投影等等
test_alpha提出的投影还有很大的改善空间，正如稳定把反射带到遥远的地方，投影也将把稳定带到遥远的地方

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