Googology-非递归序数第九集:2-投影

原作者：佩勒
有人反应稳定太难学了，尤其是[2]后，我怕是高中生都看不懂（大学生…能懂SCO的都是万里挑一的奇才😰😰）
那就学学Googology首个交流群的群主test_alpha发明的投影吧！
我们知道，在OCF展开的时候，为了自身需要和防止无穷降链，非递归序数往往要被弱化，比如：
ψ(Ω_2)=ψ(a-ψ1(a) fp)=ψ(ψ1(Ω_2))
堂堂一个非递归序数Ω_2，被削成了ψ1(Ω_2)!
这个削弱可以移除掉吗？如果移除掉，会发生什么？
那么我们就来试试吧：
ψ(Ω_2)=sup{ψ(基于Ω的序数进行的运算)}=sup{基于ω的序数进行的运算}=Ω
好家伙，直接干成Ω了
进一步有：
ψ(Ω_2+Ω)=a-ψ(Ω_2+a) fp>ψ(Ω_2+ψ(Ω_2))=ψ(Ω_2+Ω)
你是说a>a?
好吧，这个规则打破的话，显然会出现一些不正确的结果…
那就将它尽量的削弱，假设有一个超级超级大的序数a，可以输出一切非递归序数，又不能被削弱，这就是投影序数，它的配套OCF为ψa
1-投影序数就是容许序数
假设a是最小的2-投影序数，丢进OCF，有：
ψa(0)=Ω
ψa(n+1)=ψa(n)×ω
ψa(X~a)=b-ψa(X~b) fp其中X为任意合法字符，~为任意递归运算
在(2)内的X有：ψa(Y~X(a+1))=sup{ψa(Y~n)|n<X(a+1)}
但是，我们无法定义Ω(a+1)以下的递归运算在投影的效果，所以它可能是不良的
开始分析
ψa(0)=Ω
ψa(a)=a-Ω^a fp=ψ1(0)
ψa(a×n)=ψ1(n)
ψa(a²)=ψ1(Ω_2)
ψa(x-a^x fp)=ψ1(ψ2(0))
ψa(Ω(a+1))=Ω_2
ψa(Ω(a+1)×ω)=Ω_ω
ψa(Ω(a+1)×a)=a-Ω_a fp
ψa(Ω(a+1)²)=I
ψa(Ω(a+1)^ω)=I(ω,0)
ψa(Ω(a+1)^Ω(a+1))=M
ψa(x-Ω(a+1)^x)=(psd.ω)
ψa(ζ(Ω(a+1)+1))=λa.(a+ω)-0
ψa(Ω(a+2))=λa.(Ω(a+1))-0
ψa(X)与λa.(X)-n在X=Ω(a+ω)追平
接下来要引入更高级的2-投影序数a_2,a_3,…
将OCF稍微改改就行了，所以我不再重新写过了
将OCF的层数压缩，如ψa(ψa_2(a_2))=ψa(a_2)
分析得到
ψa(a_2)=ψa(ε(a+1))
ψa(Ω(a_2+1))=ψa(Ω(a+1))
ψa(ε(Ω(a_2+1)+1))=ψa((a+1 th psd.ω))
即ψa(ε(Ω(a_2+1)+1))=λa.(λb.(b+1)-0)-0
ψa(a_ω)=ω-π-0
ψa(a_(ω×2))=(ω×2)-π-0
ψa(a_a)=a(0)-π-0
ψa(x-a_x fp)=psd.a(1,0)-π-0
于是2-投影序数就达到了极限，它看似还没到方括号稳定，实则……嘿嘿

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