Googology-非递归序数第五集:ω-π-0前稳定

原作者：佩勒
之前我们讲到了(ω)
在ω之后还能继续走
(1-ω)
(ω 1-ω)
(2-ω)
(ω-ω)
(ω-)^ω
(ω+1)
(ω+2)
(ω×2)
(BHO)
(Ω)=((2))
(I)=((2 1-2))
(M)=((2-2))
(N)=((2-2-2))
(K)=((3))
((4))
((5))
((psd.ω))
((ω))
(((2)))
(((3)))
(((psd.ω)))
((((2))))
…
最终到达反射的不动点(1,0)=a-(a) fp
(1,1)
(1,(1,0))
a-(1,a) fp=psd.(2,0)
a-(1,a) ap=(2,0)
(3,0)
(ω,0)
a-(a,0) fp
(1,0,0)
(1 at 4)
(1 at ω)
(1 at 1,0)
(1 at 1 at 1,0)
a-(1 at a) fp
…
至此，我们到达了反射的极限
想要继续走下去我们需要认识一个新的东西-稳定
稳定很麻烦，比反射难得多得多，今天我们讲自然数长度的稳定链（即ω-π-0前）
稳定的定义是基于反射的，在讲形式逻辑、逻辑和反射的定义之前我先不详细讲，但是我会讲一些东西
稳定是分等级的，等级用Σ表示，我们现阶段的稳定都是一级，即Σ1稳定
如果能找到某种从A到B的映射，让所有在a,b中满足Σn的公式可以互相满足，则称a是b的Σn初等子结构，它们的集合A,B记作A-<n B
基于a,b的可构造集合La和Lb，如果La-<1 Lb,则a是b稳定的，记作λa.b
稳定似乎是利用小序数表达大序数，因为稳定有严格的定义，所以大序数会超乎寻常的大
对于任意函数f，如果λa.f(a)，则称作“a是f稳定的”

开始讲了，先看最简单的稳定，也就是序数稳定到自己(λa.a)，显然，所有的序数都满足这个条件
然后是序数稳定到自己的后继，即λa.(a+1)，不难发现满足这个条件的都是(n)这一类自然数等级的反射集合
取上确界，得到λa.(a+1)=(psd.ω)
我们也可以定义一个更详细的稳定写法λa.f(a)-b写法，若b=0则直接写作λa.f(a)即省略掉“-0”
λa.(a+1)-1=(ω)
补充一条定义：
λa.(X)-c（b>1;b=c+1）=(λa.(X)-c-X的下一个非递归序数)
在稳定有一个现象：非甘迪现象（Non-gandy），我会单独出一期讲解
在大数理论中这一段给出了一个容许点的定义：
a是容许序数，当且仅当La|=KPω，即只有a是集合论体系KPω的模型才是容许序数，KPω是什么？以后会讲
因为非甘迪现象会导致稳定序数更难分析，所以我们通常直接忽略掉它，得到的就是pfec（parameter free effective cardinal）稳定，包含非甘迪现象的稳定为adm(admissible)稳定，之后的稳定都是pfec稳定
λa.(a+1)-1=(ω+1)
λa.(a+1)-2=(ω+2)
λa.(a+2)=(ω×2)
λa.(a+b)=(ω×b)
b和ω×b在ω^ω追平，之后写上-0
λa.(a+Ω)-0=((2))
λa.(a+λa.(a+1)-0)-0=((psd.ω))
λa.(a×2)-0=a-(a) fp=(1,0)
注意到：λa.(X~a)-0=λa.(X~λa.(X~…λa.(X)-0…)-0)-0，其中X为任意带稳定的合法字符，~为任意运算
在(1,0)后不再列出普通反射
λa.(a×3)-0
λa.(a×ω)-0
λa.(a×λa.(a×2)-0)-0
λa.(a²)-0=b-λa.(a×b)-0 fp
λa.(a³)-0
λa.(a^a)-0
λa.(ψ(Ω(a+1))(Ω(a+1)))-0
λa.(ψ(Ω(a+1))(λb.(ψ(Ω(b+1)))(Ω(b+1)))-0 aft a)-0
这里的λb.只是为了和a作区分，还没到b稳定到a，a稳定到序数的时候
λa.(Ω(a+1))-1
要注意末尾是1而不是0！如果f(a)是(n+1)，则λa.(f(a))-i必须满足i≥n，现在Ω(a+1)是(2)，所以末尾必须≥1
λa.(Ω(a+1)+1)-0
因为Ω(a+1)+1不是(2)，所以不用≥1
λa.(Ω(a+1)×2)-0
λa.(Ω(a+1)^Ω(a+1))-0
λa.(Ω(a+2))-1
λa.(Ω(a+ω))-0
λa.(I(a+1))-1
λa.(M(a+1))-1=λa.(2-2 aft a)-1
λa.(K(a+1))-2=λa.(3 aft a)-2
最后
λa.(ω aft a)-ω
在这里我们暂时卡住了，无论怎么走都在这里
现在我们需要正式引入λb.，即正式进入两段稳定链
将λb.f(b)-n视作(n+1)
λa.(λb.(b+1)-0)-1
λa.(λb.(b+1)-0^2)-1
λa.(1-λb.(b+1)-0)-1
λa.(λb.(b+1)-1)-1
λa.(λb.(b+1)-2)-2
λa.(λb.(b+2)-0)-0
λa.(λb.(b×2)-0)-0
λa.(λb.(Ω(b+1))-1)-1
λa.(λb.(3 aft b)-2)-2
于是我们达到了三段稳定链
λa.(λb.(λc.(c+1)-0)-0)-0
四段稳定链
λa.(λb.(λc.(λd.(d+1)-0)-0)-0)-0
引入一个新的记号折叠稳定链长度
n-π-f-m=λa.(λb.(…λx.f(x)-m…)-m)-m共n个λ
于是：
λa.(λb.(λc.(c+1)-0)-0)-0=3-π-(+1)-0
它的极限就是这篇文章的末尾：
ω-π-0
因为稳定链的稳定公式在极限序数长度不必计较，所以折叠起来

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