Googology-非递归序数第四集-反射

原作者：佩勒
上一篇我们到了N
那么，N对于M就好像M对于Ω，Ω对于ω
N走的是和M同样的构造函数方式
在N之上还有一个Q
在Q之上还有一个R
…
就这样，有很多很多的字母，但是它们都太小了，接下来我们请出-K（Weakly Compact，弱紧致基数，为什么叫做K应该是因为Compact有一个k音）
K是I，M，N，Q，R，…的容许点，也就是用前面的字母无法到K
于是K就这么讲完了，深入讲这些字母真的会很费时间，我们就不讲了

接下来我们请出一个新的东西-反射（Reflection）
反射的定义涉及许多集合论定义和逻辑定义（这些我之后会另开一篇单独讲解），如果讲这些的话估计连高中生都听不懂，所以我直接讲它的原理
将全部序数（这个是真的“包罗万象”的集合）塞进一个基本列：
{0,1,2,…,ω,ω+1,…,ω×2,…,SCO,HCO,FSO,BHO,BO,…,Ω,…,Ω2,…,I,…,M,…,K,…}
这个基本列叫做Ord
我们需要对Ord进行一次精炼，精炼出所有极限序数，得到(1)集合
(1)={ω,ω×2,…,Ω,Ω+ω,…}
再进行一次精炼：
(1-1)={ω²,ω²×2,…}
再再进行一次精炼：
(1-1-1)={ω³,ω³×2,…}
进行一次精炼，就加上一个“1-”，用幂次和不动点进位折叠这些“1-”（像这样的就是一种“操作”，进行操作的时候要把最后面的数字写下来，在前面用幂次表示操作次数）
(1-)^ω={ω^ω,ω^ω×2,…}
(1-)^(1,0)={ε(0),ε(0)×2,…}
于是，所有由1构成的反射就结束了
接下来我们要对Ord进行一次抛光：每到一个容许点就取出一次，得到(2)集合
于是(2)={Ω,Ω_2,…,Ω_(ω+1),…}
要注意的是因为Ω_ω可以被{Ω,Ω_2,Ω_3,…}表示，它不是容许点，其他下标是极限递归序数的都不是
但是，对(2)进行精炼可以得到Ω_ω
(1-2)={Ω_ω,Ω_(ω×2),…}
为了我们方便，以后的(X)/(min X)表示X集合中最小的序数，(ath X)表示X集合中第a个序数，(X aft a)表示在a之后又在X集合中的最小序数
（在原版里面，X-Y指的是X onto Y；并集∩取空格）
并集是指两个集合同时存在元素的集合，如整数∩有理数=整数，{1,2,3,4,114514}∩{11,45,114514,1,3}={1,3,114514}
接下来就要对(2)集合精炼很多次了…
但是，我们注意到，(1-2)和(2)看似互补，那有没有在(1-2)又在(2)的序数呢？有的有的，就是--I！
I=(2 1-2)
Ω(I+1)=(2 aft 2 1-2)
I_2=(2nd 2 1-2)
I_ω=(1-2 1-2)//要注意的是，这里实际上是对(2 1-2)进行一次精炼，而不是1-2与1-2的并集
I(1,0)=(2 1-2 1-2)//=(2 1-(2 1-2))
我们注意到加上一个(2 1-)就可以转容许点，它有大用，所以这是一个操作
I(2,0)=(2 1-2 1-2 1-2)//=(2 1-(2 1-(2 1-2)))
…
接下来就是(2 1-)^ω,(2 1-)^(1,0),…
那么，(2 1-)^a到不了的地方是哪里呢？
对(2)再进行一次抛光，也就是把非递归序数再提一次非递归序数（在之前我们讲了，Ω的非递归序数就是M），得到(2-2)
M=(2-2)
一样，对(2-2)进行精炼得到M不动点和M容许点
M(1;0)=(2-2 1-2-2)
M(2;0)=(2-2 1-2-2 1-2-2)
…
在这之后，对(2-2)再进行一次抛光，得到(2-2-2)=N，N的进位就更加更加复杂了，总之我们就快速过了吧，多抛光几次
(2-)^4=Q
(2-)^ω
(2-)^(1,0)
(2-)^(9,1,7,8)
…
那么，有没有无论怎么抛光都无法到的呢？有的有的，就是(3)
对Ord进行一次进化，取所有的非递归序数的非递归序数，也就是K
(3)=K
(1-3)
(3 1-3)
(2-3)
(3 2-3)
(3-3)
(3-)^ω
…
接下来是(3)无法达到的(4)，我累了，就不说要对Ord做什么得到4了
(1-4)
(4 1-4)
(2-4)
(3-4)
(4-4)
(5)
(6)
(7)
(114514)
…
那么，它们的上界是什么呢？
之前我们在2的时候说过，Ω(ω)因为能被展开成一个基本列所以它不是容许点，所以这个基本列组成的序数也不是一个容许点，我们用“伪序数”称呼这些不是容许点但又很容易和真正的容许点序数弄混的序数，写作“psd.”
那么，(psd.ω)=(sup N)
真正的(ω)在哪里呢？
对“伪序数”进行一次非递归操作k即可
所以(ω)为(psd.ω)到不了的地方，然而相对于前面的(1),(2),(3),…相当于只有一步之遥
（原作者附：真正的反射是有Π这个长的很像大拱门一样的符号的，我把他省略掉了，快说谢谢）

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