Googology-非递归序数第三集-I之后的路

原作者：佩勒
之前我们讲了Ω和I
现在我们的设想当然远远不止I
首先，为什么要叫做I？I全称Inaccessible （不可达）
然后，I有什么作用？我们知道，a-Ω_a fp是一个脱离I单独存在的序数，I是Ω的容许点，容许是什么呢？你现阶段把它当成比不动点更高一级的进位就行了，用a-f(a) ap表示容许点
接下来的路是显然的：显然，Ω(I)=I
I+1
I×2
I^I
a-I^a fp
Ω(I+1)
Ω(I+2)
Ω(I^I)
Ω(a-I^a fp)
Ω(Ω(I+1))
…
到达Ω于I的第二重不动点后仍然不是下一级，在不动点后还要走到容许点才能进位
…Ω(I+1)…/2nd Ωfp
a-Ω(I+1) ap=I_2
I的进位机制是很简单的，和Ω一样
Ω(I_2+1)
…Ω(I_2+1)…/3rd Ωfp
a-Ω(I_2+1) ap=I_3
I_4
I_ω
I_I
I_I_I
a-I_a fp
a-I_a ap=I(1,0)
I到这里就和φ差不多了，它走的是加一模式和容许点进制
I(1,1)
I(1,I(1,0))
a-I(1,a) fp
a-I(1,a) ap=I(2,0)
I(2,1)
I(2,I(2,0))
a-I(2,a) fp
I(3,0)
I(ω,0)
I(I(1,0),0)
a-I(a,0) fp
a-I(a,0) ap=I(1,0,0)
I(1,0,1)
I(1,1,0)
I(2,0,0)
I(1,0,0,0)
I(1 at ω)
I(1 at (1,0))
I(a-(1 at a)) fp
I(a-(1 at a)) ap(?)
这就是I的全部了
那有没有更高级的东西可以在非递归序数快速前进呢？想想OCF，我们可以类似它搞一个M出来，M是Mahlo（马勒）
M于Ω就好似Ω于ω，ω于1
最外层的ψ函数则为ψM
于是：
ψM(0)=Ω
ψM(a+1)=ψM(a)后下一个非递归序数
ψM(X~M)=a-ψM(X~a) ap其中X为任意合法字符，~为加法，乘法，幂次其一
进行分析，不难发现Ω在这里好似ε函数，但因为是容许点，所以：
ψM(M)=I
ψM(M×2)=I_2
ψM(M²)=I(1,0)
它和OCF在ζ(0)后的行为一模一样！
ψM(M^M)=I(1,0,0)
那因为BHO在OCF中是ψ(a-Ω^a fp)
所以I(a-(1 at a) fp)=ψM(a-M^a fp)
接下来就要引入M_a来表示OCF中到BO的序数
ψ(M_(a+1))(0)=Ω(M_a+1)
ψ(M_(a+1))(b+1)=ψ(M_(a+1))(b)后下一个非递归序数（更专业的表示法是2 aft ψ(M_(a+1))(b)）
ψ(M_(a+1))(X~M_(a+1))=a-ψ(M_(a+1))(X~a) ap其中X为任意合法字符，~为加法，乘法，幂次其一
于是就有：
M_2
M_3
M_M
a-M_a fp
a-M_a ap
…
M_a的容许点为N(Non-convertable，不可转换序数)

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