Googology-PrSS（初等序列）

原作者：佩勒
让我们从零开始重新认识另一套序数系统，这套系统主打的不是像OCF、Veblen等吃奶堆上去，而是通过几个数字排列结合产生逆天大小，PrSS作为在这方面开创的首个序数记号，应当被我们重视
PrSS(Primitive Sequence System，初等序列系统)，日本大数学者Bashicu于2014年提出，并在此后为大数学开创了一条新的分支-序列序数
它的定义如下：
()=0
(X,1)=(X)+1其中X为任意合法序列
(X,a_i,Y,a_j)=(X,a_i,Y,a_i,Y,a_i,Y,…)其中X,Y为任意合法序列，i,j,a_i,a_j满足i<j，a_j-a_i=1，a_j≠1
简单来说就是：
没有任何东西的情况下，等于0
每在后面加一个1，序数+1
最后一条是展开规则，从末项开始往前找到比它小的最近的项记作“坏根”，坏根前面的部分为好部，坏根后面到末项前一项的部分（包含坏根）为坏部，将坏部无限复制（末项会被湮没在坏部里面）
以(1,2,3,4,3)为例子
往前找3-1=2，在第二项，于是它的好部是1，坏根是2，坏部是2,3,4
展开后得到(1,2,3,4,2,3,4,2,3,4,…)
合法的PrSS序列(a_1,a_2,…,a_(n-1),a_n)满足：
a_1=1（首项为1）
如(2,0,2,6)不合法
a_m-a_(m-1)≤1其中1<m≤n，即每两项之间差值最多为1
如(1,1,4,5,1,4)不合法
因为第二条，PrSS的极限为：(1,2,3,4,5,…)
于是我们就可以分析了
()=0
(1)=1
(1,1)=2
(1,2)=(1,1,1,…)=ω
(1,2,1)=ω+1
(1,2,1,2)=ω×2
(1,2,2)=(1,2,1,2,1,2,…)=ω²
(1,2,2,2)=ω³
(1,2,3)=(1,2,2,2,…)=ω^ω
(1,2,3,2)=(1,2,3,1,2,3,1,2,3,…)=ω^(ω+1)
(1,2,3,2,2)=ω^(ω+2)
(1,2,3,2,3)=(1,2,3,2,2,2,2,…)=ω^(ω×2)
注意看这里的(2,3,2,3)，和(1,2,1,2)有异曲同工之妙，表示的都是ω×2，只不过+1并且放在了1前，于是它们发挥了ω^指数的作用
(1,2,3,3)=(1,2,3,2,3,2,3,…)=ω^(ω²)
(1,2,3,3,3)=(1,2,3,3,2,3,3,2,3,3,…)=ω^(ω³)
(1,2,3,4)=ω^ω^ω
(1,2,3,4,5)=ω^ω^ω^ω
limit of PrSS=ε(0)
猜对了，因为只有指数塔的作用，导致PrSS极限是ε(0)，这个可以预测
PrSS虽弱，但下一期我们就要讲到它的变体PSS Hydra（对式序列九头蛇系统）、LPrSS（长初等序列系统）和HPrSS（超初等序列系统）
它还有一个非常著名的多行扩展，也是由Bashicu本人亲手操刀的——BMS(Bashicu Martix System，Bashicu矩阵系统)，BMS的极限远远超过了BO，以至于在它诞生之后的很长一段时间，都没有任何人可以超过它，甚至OCF连四行都没堆上，直到2021年，test_alpha下场发明的投影序数使得SSO之后变得较为简单（意思是不用再去学特别烧脑的稳定了），ω-投影便到了BMS的四行，后续有大佬对它进行扩展（向上投影）到了BMS的极限
然而BMS在下一个层次的Y序列就变得弱不禁风了，它的极限是1-Y(1,3,4,2,5,8,10)…

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