原作者：佩勒
OCF（Ordinal Collapsing Function）是将非递归序数“折叠”成递归序数的函数，用ψ表示
ψ()函数相对于非递归序数，就好比于FGH增长率f_a()相对于序数
OCF有MOCF（Madore's OCF）和BOCF(Buchholz's OCF)两种，我们以MOCF讲解
MOCF的定义如下：
C0(a)={0,1,ω,Ω}
C(n+1)(a)={b+c,b×c,b^c,ψ(d)|b,c,d∈Cn(a),d<a}
C(a)=C0(a)∪C1(a)∪C2(a)∪…
ψ(a)=min{b<Ω|b不属于C(a)}
翻译一下就是：
有一个集合C0(a)，无论a是什么值，C0(a)始终为{0,1,ω,Ω}
第二条规则规定Cn(a)集合迭代一次后，所有元素互相进行一次（包括自身）加法、乘法、指数操作，并加入ψ(小于a，且在Cn(a)中的序数)
第三条规则将第二条规则无限应用得到无限多的Cn(a)，互相取并集得到C(a)
最后一条规则定义ψ(a)为“最小的既在C(a)无法得到又不是非递归序数的序数”
我们来计算一下ψ(0)
C0(0)={0,1,ω,Ω}
C1(0)为C0(0)互相取加法，乘法和指数，我们直接看最大的递归序数值即可：ω^ω
C2(0)最大值为(ω^ω)^(ω^ω)=ω^ω^ω
C3(0)最大值为ω^ω^ω^ω
…
最小的C(0)取不到的递归序数是a-ω^a fp=ε(0)，故ψ(0)=ε(0)
计算ψ(1)：
C0(1)最大值为ω
C1(1)最大值为ψ(0)（第二条规则有0<1，可以放入ψ(0)）
C2(1)最大值为ψ(0)^ψ(0)
…
C(1)最大值为a-ψ(0)^a fp=ε(1)，故ψ(1)=ε(1)
ψ(a)同理，于是我们发现了一个不动点：ζ(0)=a-ψ(a)fp，换句话说，ψ(ζ(0))=ζ(0)
那么ψ(ζ(0)+1)呢？
C0(ζ(0)+1)最大值为ω
C1(ζ(0)+1)最大值为ψ(ω)
C2(ζ(0)+1)最大值为ψ(ψ(ω))
…
C(ζ(0)+1)最大值为a-ψ(a)fp=ζ(0)
所以ψ(ζ(0)+1)=ζ(0)
之后再进行任意操作对ψ函数都没有用了，它的值被死死钉在了ζ(0)
直到Ω
ψ(Ω)=ζ(0)
ψ(Ω+1)=ζ(0)吗？
我们发现MOCF的第一个集合C0(a)包含的Ω起作用了…
ψ(Ω+1)=a-ψ(Ω)^a fp=ε(ζ(0)+1)
此后同理
为了让各位可以彻底搞懂OCF这玩意，我直接将OCF的规则挖出来：
ψ(a)=ε(a)若a<ζ(0)
ψ(b+1)=a-ψ(b)^a fp
ψ(X~Ω)=a-ψ(X~a) fp 其中X为任意合法东西，~为加法、乘法、指数操作其一
于是我们来分析一下，中间部分跳的会比较快，没有分析到的部分留作习题
ψ(Ω×2)=ζ(1)
ψ(Ω×3)=ζ(2)
ψ(Ω²)=φ(3,0)
ψ(Ω²×2)=φ(3,1)
ψ(Ω³)=φ(4,0)
ψ(Ω^ω)=φ(ω,0)
ψ(Ω^Ω)=φ(1,0,0)
ψ(Ω^(Ω+1))=φ(1,1,0)
ψ(Ω^Ω²)=φ(1,0,0,0)
ψ(Ω^Ω^ω)=φ(1 at ω)
ψ(Ω^Ω^Ω)=φ(1 at (1,0))
ψ(Ω^Ω^Ω^Ω)=φ(1 at (1 at (1,0)))
ψ(a-Ω^a fp)=φ(a-(1 at a))fp=BHO
只靠Ω的MOCF走到了尽头…
在下一章，我们会请出更高级的非递归序数Ω_2,Ω_ω,…