Googology-增长率

原作者：佩勒
增长率是序数转化为自然数的一个转换器，将序数比作“插座”，那么增长率就是“插头”
FGH（快速增长层级）
FGH增长率定义如下：
a[n]为a[]第n项，如ω[2]=1,ε(1)[3]=ε(0)^ε(0)等
f_0(n)=n+1
f_(a+1)(n)=f_a(f_a(…f_a(n)…))（n个f_a）
f_a(n)=f_a[n](n)若a∈lim
我们来分析一下
f_0(114)=114+1=115
f_1(114)=f_0(f_0(…(114)…))=114+1+1+…+1=114+114=228
f_2(114)=f_1(f_1(…(114)…))=f_1(f_1(…(228)…))=2^114×114
通过上面的例子，我们不难发现
f_1(n)=2n
f_2(n)=2ⁿn
f_3(n)=2^(2^(…2ⁿn)…)…（如果要完整写出来不可能，因为太长了）≈n↑²n
f_4(n)~n↑³n
f_5(n)~n↑⁴n
…
由于第三条，所以f_ω(n)=f_n(n)=n↑ⁿn
别看这一小个提升…它可以使得数值大大增长！我们以f_(ω+1)(3)为例子看看会变成什么样
f_(ω+1)(3)
=f_ω(f_ω(f_ω(3)))
=f_ω(f_ω(f_3(3)))
=f_ω(f_ω(f_2(f_2(24))))
=f_ω(f_ω(f_2(2²⁴×24)))
~f_ω(f_ω(10^10^9))
=f_ω(f_(10^10^9)(10^10^9))
这一步按照上面一步一步展开，长度可以超过整个可观测宇宙
SGH（慢速增长层级）
SGH增长率定义如下：
g_0(n)=0
g_(a+1)(n)=g_a(n)+1
g_a(n)=g_a[n](n)若a∈lim
我们也来分析一下
g_0(n)=0
g_1(n)=g_0(n)+1=0+1=1
g_m(n)=m
在自然数增长率的时候，它的取值和n完全没有关系！
g_ω(n)=n
g_(ω+1)(n)=n+1=f_0(n)
g_(ω×2)(n)=2n=f_1(n)
我们达到了一次函数的增长率:y=kx+b→g_(ω×k+b)(x)
g_(ω²)(n)=n²
我们达到了二次函数的增长率:y=ax²+bx+c→g_(ω²×a+ω×b+c)(x)
g_(ω^ω)(n)=nⁿ
我们达到了指数函数的增长率:y=x^x→g_(ω^ω)(x)
g_(ε(0))(n)=n↑²n
g_(ε(1))(n)=n↑²(2n)
g_(ζ(0))(n)=n↑³n
g_(φ(ω,0))(n)=n↑ⁿn~f_ω(n)
自此，我们终于到了FGH的ω增长率
还记得FGH的提升吗？在SGH，FGH的提升会导致SGH突然被FGH远远甩开一大截
g_(φ(ω+1,0))(n)=f_n(f_ω(n))
g_(φ(φ(ω,0),0))(n)=f_ω(f_ω(n))
g_(FSO)(n)=f_ω+1(n)
这让SGH被打得措手不及…
追平（Catching/ct）
两个增长率追平，需要满足它们的增长率序数相同的时候，它们的增长速度也基本相同，或者说
存在两种增长率m,n，存在序数a，当m_a(n)≤n_a(n)≤m_a(n+1)的时候，我们说“m,n在a处追平”
FGH和SGH的追平是遥遥无期了…
HH（哈代层级）
HH定义如下：
H_0(n)=n
H_(a+1)(n)=H_a(n+1)
H_a(n)=H_a[n](n)若a∈lim
我们来分析一下
H_0(n)=n
H_1(n)=H_0(n+1)=n+1
H_ω(n)=H_n(n)=2n
H_(ω+1)(n)=H_ω(n+1)=2n+2
H_(ω×2)(n)=H_ω(2n)=4n
H_(ω²)(n)=H_(ω×n)(n)=2ⁿn
是不是觉得有点像FGH？
我们很容易发现，H_a(H_b(n))=H_(a+b)(n)
于是：
H_1(n)=n+1=f_0(n)
H_ω(n)=H_(1+1+1+…)(n)=H_1(H_1(H_1(…(n)…)))=f_1(n)
H_(ω²)(n)=H_ω(H_ω(…(n)…))=f_2(n)
所以我们有一个结论：
H_(ω^a)(n)=f_a(n)
那么它与FGH的追平点就是a-ω^a fp=ε(0)

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